Enthéorie des cordes bosoniques, on tente de calculer les niveaux d'énergie possible d'une corde, tout particulièrement le niveau d'énergie minimal. De manière informelle, chaque harmonique d'une corde peut être perçue comme une collection de D – 2 oscillateurs harmoniques quantiques indépendants, un pour chaque direction transverse, où D est le Leproduit de la somme, exercice de addition et soustraction - 526704. Calcul. Le produit de la somme. 6+5=11. 8-6=2. Commentcalculer 70 pourcentage d’une somme ? Pour calculer un pourcentage ou une remise, il faut prendre le prix de départ, le multiplier par le pourcentage de réduction ( cash. Résumé Le calculateur de somme permet de calculer en ligne la somme des termes de la suite dont l'indice est compris entre la borne inférieure et la borne supérieure. somme en ligne Description Le calculateur est en mesure de calculer en ligne la somme des termes d'une suite compris entre deux des indices de cette suite. Calcul de la somme des termes d'une suite de nombres Le calculateur permet de calculer une somme de nombres, il suffit d'utiliser la notation vectorielle. Par exemple pour obtenir la somme de la liste de nombres suivants 6;12;24;48, il faut saisir somme`[6;12;24;48]`. Le résultat est alors calculé sous sa forme exact. Calcul de la somme des termes d'une suite Le calculateur est en mesure de calculer la somme des termes d'une suite compris entre deux indices de cette suite. Ainsi, pour obtenir la somme des termes d'une suite définie par `u_n=n^2` entre 1 et 4 , il faut saisir somme`n;1;4;n^2` après calcul, le résultat 30 est retourné `sum_n=1^4 n^2=1^2+2^2+3^2+4^2=30`. Calcul de la somme des termes d'une suite arithmétique La somme des termes d'une suite arithmétique `u_n`, entre les indices p et n, est donnée par la formule suivante `u_p+u_p+1+...+u_n=n-p+1*u_p+u_n/2` En utilisant cette formule, le calculateur est en mesure de déterminer la somme des termes d'une suite arithmétique compris entre deux indices de cette suite. Ainsi, pour obtenir la somme des termes d'une suite arithmétique définie par `u_n=3+5*n` entre 1 et 4 , il faut saisir somme`n;1;4;3+5*n`, après calcul, le résultat est retourné. Le calculateur est en mesure de retrouver la formule générale qui permet de calculer la somme des nombres entiers `1+...+ p= p*p+1/2`, il suffit de saisir somme`n;1;p;n`. Le calculateur peut utiliser cette formule pour, par exemple, calculer la somme des nombres entiers compris entre 1 et 100 `S=1+2+3+...+100`. Pour calculer cette somme mathématique, il suffit de saisir somme`n;1;100;n`. Calcul de la somme des termes d'une suite géométrique La somme des termes d'une suite géométrique `u_n`, entre les indices p et n, est donnée par la formule suivante `u_p+u_p+1+...+u_n=u_p*1-q^n-p+1/1-q`, q est la raison de la suite. Grâce à cette formule, le calculateur est en mesure de calculer la somme des termes d'une suite géométrique compris entre deux indices de cette suite. Ainsi, pour obtenir la somme des termes d'une suite géométrique définie par `u_n=3*2^n` entre 1 et 4 , il faut saisir somme`n;1;4;3*2^n` après calcul, le résultat est retourné . Calculateur de séries numériques et vectorielles Soit `u_n` une suite à valeur dans `RR` ou `CC`, on appelle série de terme général `U_n` la suite définie par `U_n=sum_k=0^n u_n`, pour tout `n in NN`. Le calculateur peut être utilisé comme un calculateur de série, pour calculer la suite des sommes partielles d'une série. Si on condidére la série `sum 3+5*n`, le calculateur de série permet de calculer les termes de la suite de ses sommes partielles définie par `U_n=sum_k=0^n 3+5*k`. Ainsi pour calculer `U_5=sum_k=0^5 3+5*k`, il faut saisir somme`k;0;5;3+5*k`. Voici la liste des exercices qui utilisent cette fonction pour leur résolution . Syntaxe sommeindice;borne inférieure;borne supérieure;suite Exemples somme`n;1;4;n^2`, retourne 30, c'est à dire `1^2+2^2+3^2+4^2` Calculer en ligne avec somme somme des termes d'une suite La fonction dans Excel renvoie la moyenne de cellules en fonction de plusieurs critères. appartient aux fonctions mathématiques d'Excel à l'instar de MOYENNE et La syntaxe La fonction Excel suit la syntaxe suivante = où plage_moyenne correspond à la plage dont la moyenne est à calculerplage_critère1 correspond à la plage du 1er critère à analysercritère1 correspond à la première condition à vérifierplage_critère2 correspond à la plage du 2e critère à analysercritère2 correspond à la deuxième condition à vérifier La fonction en exemple La formule ABC1FruitDisponibilitéPrix2PommeEn stock53PoireRupture64PommeRupture25PommeEn stock367= Stock"8Calcule le prix moyen des pommes en stock Le résultat ABC1FruitDisponibilitéPrix2PommeEn stock53PoireRupture64PommeRupture25PommeEn stock36748Calcule le prix moyen des pommes en stock Calcul de sommes Enoncé Calculer $\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{-1^n}{n^2-1}$. On justifiera la convergence de la série. Enoncé Montrer que la série de terme général $$u_n=\frac{1}{\sqrt{n-1}}-\frac{2}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}$$ pour $n\geq 2$ est convergente, et calculer sa somme. Enoncé Soit $x\in ]-1,1[$. Calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}kx^k$. Enoncé Sachant que $e=\sum_{n\geq 0}\frac1{n!}$, déterminer la valeur des sommes suivantes $$\begin{array}{lllll} \displaystyle \mathbf 1.\ \dis \sum_{n\geq 0}\frac{n+1}{n!}&&\displaystyle \mathbf 2.\ \dis \sum_{n\geq 0}\frac{n^2-2}{n!}&& \displaystyle \mathbf 3.\ \sum_{n\geq 0}\frac{n^3}{n!}. \end{array}$$ Enoncé En utilisant l'inégalité de Taylor-Lagrange sur la fonction $t\mapsto {\ln1+t}$, montrer que la série $\sum_{n\geq 1}\frac{-1^{n-1}}{n}$ est convergente et de somme $\ln 2$. Sachant que $\dis\frac{1}{k}=\int_0^1 t^{k-1}dt$, retrouver d'une autre façon le résultat précédent. Enoncé Le but de l'exercice est de calculer $\sum_{n\geq 1}\frac1{n^2}$. Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $[0,\pi]$. Démontrer que $$\int_0^\pi ft\sin\left\frac{2n+1t}{2}\rightdt\longrightarrow_{n\to+\infty}0.$$ On pose $A_nt=\frac12+\sum_{k=1}^n \coskt.$ Vérifier que, pour $t\in]0,\pi]$, on a $$A_nt=\frac{\sin\left2n+1t/2\right}{2\sint/2}.$$ Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $n\geq 1$, $$\int_0^\pi at^2+bt\cosntdt=\frac1{n^2}.$$ Vérifier alors que $$\int_0^\piat^2+btA_nt=S_n-\frac{\pi^2}6$$ où on a posé $S_n=\sum_{k=1}^n \frac1{k^2}$. Déduire des questions précédentes que $S_n\to \frac{\pi^2}6.$ Enoncé Étudier la convergence et calculer la somme de la série de terme général $\dis \arctan\left\frac{1}{k^2+k+1}\right.$ Enoncé Étudier la convergence et calculer la somme de la série de terme général $$u_n=\frac{-1^n}{n+-1^n}.$$ Comparaison à une intégrale Enoncé Soit $\alpha\in\mathbb R$. Pour $\alpha1$. On note $$R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac 1{k^{\alpha}}.$$ Soit $a\in\mathbb R$. Déterminer $$\lim_{x\to+\infty}\int_a^{x}\frac{dt}{t^\alpha}.$$ En déduire un équivalent simple de $R_n$. Enoncé Déterminer un équivalent simple de $\lnn!$. Enoncé Déterminer $\displaystyle \lim_{a\to+\infty}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a}{n^2+a^2}.$ Estimation des sommes partielles et du reste Enoncé Écrire un algorithme donnant un encadrement à $10^{-5}$ près de $\sum_{n\geq 1}\frac{-1^n}{n\lnn+1}$. Enoncé Soit pour $n\geq 1$, $u_n=\frac 1{2n-15^{2n-1}}$. Montrer que la série de terme général $u_n$ converge. On note $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_{k}$. Montrer que $R_n\leq \frac{25}{24}u_{n+1}$. En déduire la valeur de $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$ à 0,001 près. Enoncé Pour tout entier naturel non nul, on note $$H_n=\sum_{k=1}^n \frac 1k,\ f_n=H_n-\ln n.$$ On considère également les suites $u_n_{n\geq 1}$ et $v_n_{n\geq 1}$ définies pour $n\geq 1$ par $$u_1=1\textrm{ et pour }n\geq 2, u_n=\frac 1n+\ln\left1-\frac 1n\right;$$ $$v_n=\frac 1n-\ln\left1+\frac 1n\right.$$ Démontrer que pour tout $n\geq 1$, on a $$\lnn+1\leq H_n\leq 1+\lnn.$$ En déduire un équivalent de $H_n$. Justifier que les séries $\sum_{n}u_n$ et $\sum_n v_n$ sont convergentes. Dans la suite de l'exercice, on notera $\gamma=\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$. Exprimer, pour $n\geq 2$, $f_n-f_{n-1}$, en fonction de $u_n$. En déduire que $f_n$ converge vers $\gamma$. Quel est le signe pour $n\geq 2$ respectivement pour $n\geq 1$ de $u_n$ respectivement de $v_n$? Démontrer que, pour tout $N\geq 2$, $$\sum_{n=2}^N \big\lnn+1+\lnn-1-2\lnn\big=\lnN+1-\lnN-\ln2.$$ On note, pour $N\geq 1$, $S_N=\sum_{n=1}^N u_n$ et $T_N=\sum_{n=1}^N v_n$. Déduire des deux questions précédentes que les suites $S_N$ et $T_N$ sont adjacentes, de limite $\gamma$. En utilisant les suites $S_N$ et $T_N$, écrire une fonction Python \verb+gammaeps+ qui donne un encadrement de $\gamma$ d'amplitude inférieur ou égal à $eps$. Enoncé Pour $n\geq 1$, on note $H_n=\sum_{k=1}^n \frac 1k$. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $$\lnn+1\leq H_n\leq 1+\lnn.$$ En déduire un équivalent de $H_n$. On pose pour $n\geq 1$, $v_n=H_n-\lnn+1$. Vérifier que, pour $n\geq 2$, $v_{n}-v_{n-1}=\frac 1n-\ln\left1+\frac 1n\right$. Étudier la monotonie de $v_n$. En déduire que $v_n$ est convergente. On note $\gamma$ sa limite et on pose pour $n\geq 1$, $w_n=H_n-\lnn+1-\gamma$. Vérifier que, pour tout $x\geq 0$, $$\ln1+x=x-\int_0^x \frac{x-t}{1+t^2}dt.$$ En déduire que, pour tout $x\geq 0$, $$\left\ln1+x-x\right\leq\frac{x^2}2.$$ Démontrer que, pour tout $n\geq 2$, $$\leftw_n-w_{n-1}\right\leq \frac{1}{2n^2}.$$ Soit $M>N\geq 1$. Démontrer que $$\sum_{k=N+1}^M \frac1{k^2}\leq \frac1{N}.$$ En déduire, sous les mêmes hypothèses, que $$w_M-w_N\leq \frac1{2N}$$ puis que $$v_N-\gamma\leq \frac{1}{2N}.$$ Écrire un algorithme permettant de calculer une valeur approchée de $\gamma$ à $10^{-3}$ près. Enoncé On pose $H_n=1+\frac12+\dots+\frac1n$. Prouver que $H_n\sim_{+\infty}\ln n$. On pose $u_n=H_n-\ln n$, et $v_n=u_{n+1}-u_n$. Étudier la nature de la série $\sum_n v_n$. En déduire que la suite $u_n$ est convergente. On notera $\gamma$ sa limite. Soit $R_n=\sum_{k=n}^{+\infty} \frac{1}{k^2}$. Donner un équivalent de $R_n$. Soit $w_n$ tel que $H_n=\ln n+\gamma+w_n$, et soit $t_n=w_{n+1}-w_n$. Donner un équivalent du reste $\sum_{k\geq n}t_k$. En déduire que $H_n=\ln n+\gamma+\frac{1}{2n}+o\left\frac1n\right$. Enoncé Le but de l'exercice est de calculer $\sum_{n\geq 1}\frac1{n^2}$ et de donner un développement asymptotique de la somme partielle $S_n=\sum_{k=1}^n \frac1{k^2}.$ Soit $\alpha>1$ et $k\geq 2$. Démontrer que $$\int_{k}^{k+1}\frac{dt}{t^\alpha}\leq \frac1{k^\alpha}\leq \int_{k-1}^{k}\frac{dt}{t^\alpha}.$$ En déduire que $$\sum_{k\geq n}\frac{1}{k^{\alpha}}\sim_{+\infty}\frac{1}{\alpha-1n^{\alpha-1}}.$$ Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $[0,\pi]$. Démontrer que $$\int_0^\pi ft\sin\left\frac{2n+1t}{2}\rightdt\longrightarrow_{n\to+\infty}0.$$ On pose $A_nt=\frac12+\sum_{k=1}^n \coskt.$ Vérifier que, pour $t\in]0,\pi]$, on a $$A_nt=\frac{\sin\left2n+1t/2\right}{2\sint/2}.$$ Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $n\geq 1$, $$\int_0^\pi at^2+bt\cosntdt=\frac1{n^2}.$$ Vérifier alors que $$\int_0^\piat^2+btA_ntdt=S_n-\frac{\pi^2}6.$$ Déduire des questions précédentes que $S_n\to \frac{\pi^2}6.$ Déduire des questions précédentes que $$S_n=\frac{\pi^2}6-\frac1n+o\left\frac 1n\right.$$ Enoncé Le but de l'exercice est de déterminer un équivalent du reste de certaines séries alternées. On considère $u_n_{n\geq 0}$ une suite de réels positifs décroissant vers $0$, et on considère la série $\sum_{n\geq 0}-1^n u_n$ dont on rappelle qu'elle est convergente. On note $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}-1^k u_k$ son reste. On suppose de plus que la suite $u_n$ vérifie les deux conditions suivantes $$\forall n\geq0,\ u_{n+2}-2u_{n+1}+u_n\geq 0\qquad\textrm{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=1.$$ Démontrer que pour tout $n\geq 0$, $R_n+R_{n+1}=u_{n+1}$. Démontrer que la suite $R_n$ est décroissante. En déduire que $R_n\sim_{+\infty}\frac{-1^{n+1} u_n}2.$

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